HIMPUNAN

1. Apa itu Himpunan (Set)?

Definisi : Himpunan adalah sekumpulan objek diskrit yang memiliki sifat tertentu dan memiliki objek yang berbeda. Objek ini selanjutnya dinamakan yaitu anggota atau elemen dari himpunan tersebut.

Notasi 

• Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A,B,C,H,K dan sebagainya. Untuk  menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{}”, sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a,b,c,x,y dan sebagainya. 

• Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” di baca anggota sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang  "∉ " di baca bukan anggota.

Teknik Penyajian

1. Enumerasi : artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal . Biasanya  suatu himpunan di beri nama dengan menggunakan huruf kapital maupun dengan simbol-simbol lainnya. 
2. Notasi pembentuk himpunan  ,  Notasi: {x| syarat yang harus dipenuhi oleh x}
3. Diagram Venn

• Contoh Enumerasi

         A = {a,b{a,b,c},{a,c}}

• Contoh Notasi Pembentuk Himpunan

          Jika B himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 8 dinyatakan kedalam bentuk notasi : 

          B = {x | x ∈ p, x < 8}

          B = {1,2,3,4,5,6,7}

• Contoh Diagram Venn

          Diket  U = {1,2,3,4} 

          a = {1,3,4}

          b= {1,2,3}

          a∩b =  (a ber irisan dengan b, merupakan a ⊂ b dan b ⊂ a) 

2.Ada berapakah jenis-jenis himpunan ?


Jenis Himpunan lumayan banyak juga kawan, jadi kita harus benar-benar memahami setiap jenisnya dan perbedaanya, supaya dalam mengerjakan soal tidak keliru menggunakan cara dan rumusnya :)

1. Himpunan Kosong

Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

Soal. a) Buktikan apakah semua nama hari yang berawal dengan angka numerik itu himpunan kosong?

Penyelesaian: 

a) Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}  ≠   H = {Senin, selasa, rabu , kamis, jumat, sabtu, minggu},

maka semua nama hari yang dimulai dengan angka numerik adalah = 0 , jadi  A ≠ ∅ atau A bukan himpunan kosong, karena himpunan kosong itu jika A = 0 atau {}.

2. Himpunan Bagian

Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. 

Soal. a) Buktikan apakah  A = {1,2,3,4} adalah himpunan bagian dari,  B = {1,2,3,4,5,6,7} ?

Soal. b) Diketahui C = {1,3,5} adalah sub himpunan sejati dari D = {5,4,3,2,1} buktikan apakah termasuk himpunan bagian? lihat soal baik^2!

Soal. c) Diketahui G = {1,3,5} dan F = {5,4,3,2,1}, Apakah G ⊆ F ,  benar atau salah buktikan?

Penyelesaian:

a) Untuk menunjukan bahwa A adalah himpunan bagian dari B, bahwa setiap elemen di dalam A juga elemen di dalam B, maka A ⊆ B = {1,2,3,4} adalah benar.
Kenapa {5,6,7} tidak di termasuk? karena elemen 5,6,7 bukan merupakan elemen himpunan bagian dari A .

b) Karena setiap unsur C merupakan unsur D, lalu unsur 2 dan 4 merupakan unsur D, tetapi bukan merupakan unsur C, sehingga C ⊆ D adalah benar atau  di baca  C merupakan himpunan bagian D.
c) F ⊈ G jika dan hanya jika G ⊆ F = {4,2}, namun anggota himpunan F = {5,3,1} merupakan

bagian dari himpunan G = {1,3,5} maka  G ⊆ F = {1,3,5} adalah benar.

3. Himpunan sama

Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

 Notasi : A = B  <==>  A ⊆ B dan B ⊆ A  

Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

 1.Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.

Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

2.Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.

Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}

3.Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B dan C = C

(b) Jika A = B, maka B = A

(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

Soal. a) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {5,3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk himpunan sama?

Soal. b) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk himpunan sama?

Soal. c) Jika A = {a,a,a,b,c,d} dan B = {c,a,a,c} Apa himpunan berikut termasuk himpunan sama?

Penyelesaian:

a) A = B  = {3,5,8}, jadi himpunan di atas adalah himpunan sama


b) A  ≠ B , karena A = {5} bukan merupakan himpunan bagian dari  B
c) A ≠ B  <==>  A ⊈ B | B ⊈ A, karena A = {b,d} bukan merupakan himpunan bagian dari B